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人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ):矩陣論——第一章 線性空間
2022-04-29 13:53:54


人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ):矩陣論——第一章 線性空間_python


Hello,大家好我叫是Dream呀,一個(gè)有趣的Python博主,小白一枚,多多關(guān)照 ?

入門(mén)須知:這片樂(lè)園從不缺乏天才,努力才是你的最終入場(chǎng)券!

最后,愿我們都能在看不到的地方閃閃發(fā)光,一起加油進(jìn)步

“一萬(wàn)次悲傷,依然會(huì)有Dream,我一直在最溫暖的地方等你”,唱的就是我!哈哈哈~



第一章 線性空間

1.1線性代數(shù)知識(shí)回顧

一、向量

1、向量的實(shí)際意義

確定飛機(jī)的狀態(tài),需要以下6個(gè)

參數(shù):

飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù) P(x,y,z)

機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角:

a

機(jī)身的仰角:

b

機(jī)翼的轉(zhuǎn)角;

c

所以,確定飛機(jī)的狀態(tài),需用6維向量

a = (x, y,z,a,b ,c )

確定西瓜是好瓜還是壞瓜? 需要描述西瓜的特征

如下:

顏色:深綠、淺綠、淺白
根蒂:硬挺、稍卷
條紋:清晰、模糊
糖分:連續(xù)的值
西瓜:(深綠, 硬挺,清晰,1.2)

2、向量的線性運(yùn)算

3、向量的內(nèi)積

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4、向量的長(zhǎng)度

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二、向量組

1、向量組的實(shí)際意義

利用如下特征描述一車(chē)西瓜的特點(diǎn),確定一車(chē)西瓜哪些是好瓜,哪些是壞瓜?

一車(chē)西瓜有若干個(gè)向量表示,構(gòu)成向量組。

人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ):矩陣論——第一章 線性空間_原力計(jì)劃_04

2、向量的線性表示

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3、向量組的線性相關(guān)

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4、向量組的線性無(wú)關(guān)

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一個(gè)零向量線性相關(guān),而一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ):矩陣論——第一章 線性空間_原力計(jì)劃_08

5、向量組的極大無(wú)關(guān)組

定義:設(shè)向量組 A 與其一個(gè)部分向量組A0:a1, a2, …, ar,如果滿(mǎn)足:

① 向量組A0:a1, a2, …, ar線性無(wú)關(guān);

② 向量組 A中任意一個(gè)向量都能由向量組 A0 線性表示;

那么稱(chēng)向量組 A0是向量組A的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,簡(jiǎn)稱(chēng)極大無(wú)關(guān)組人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ):矩陣論——第一章 線性空間_python_09

6、向量組的秩

定義:向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù),記作r(A)

三、矩陣

1.矩陣的意義

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2、特殊矩陣

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8.三角矩陣

3、 矩陣的運(yùn)算

(1) 加、減

(2) 數(shù)乘

(3) 乘法

注意:

矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律;

矩陣乘法不滿(mǎn)足消去律

兩個(gè)非零矩陣的乘法可能是零矩陣

(4)逆矩陣的概念

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4、矩陣秩的計(jì)算

定義:矩陣A 的最高階非零子式的階數(shù), 稱(chēng)為矩陣,A 的秩,記作 r(A).

r(A)=2

  1. 存在一個(gè)非零二階子式
  2. 所有的三階及以上子式都等于0

r(A)=r

  1. 存在一個(gè)非零r階子式
  2. 所有的r+1階及以上子式都等于0

規(guī)定:零矩陣的秩等于零

求矩陣的秩的方法:

(1) 化行階梯形矩陣;

(2) 行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ):矩陣論——第一章 線性空間_python_15

人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ):矩陣論——第一章 線性空間_人工智能_16

n階矩陣的秩為n時(shí),稱(chēng)其為滿(mǎn)秩矩陣,否則稱(chēng)其為降秩矩陣.

四、線性方程組

1.向量、矩陣與線性方程組的關(guān)系

  1. 向量組構(gòu)成矩陣
  2. 用向量組的線性組合表示方程組
  3. 矩陣可以表示線性方程組
  4. 向量組的秩=矩陣的秩=有效方程的個(gè)數(shù)
    人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ):矩陣論——第一章 線性空間_線性代數(shù)_17

2.線性方程組解的判定(利用矩陣的秩討論)

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3、 齊次線性方程組的解法

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4、 線性方程組的應(yīng)用

1.2 線性空間

一、數(shù)域

封閉:指集合中任意兩個(gè)元素作某一運(yùn)算得到的結(jié)果仍屬于該集合.

數(shù)域:數(shù)集關(guān)于四則運(yùn)算是封閉的

二、向量空間

定義:設(shè) V 是 一個(gè)向量組集合,如果

① 集合 V 非空,

② 集合 V 對(duì)于向量的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉,具體地說(shuō),就是:

  1. ? 若 a ∈ V, b ∈ V,則 a + b ∈ V .(對(duì)加法封閉)
  2. ? 若 a ∈ V, l ∈ R,則 l a ∈ V . (對(duì)數(shù)乘封閉)

那么就稱(chēng)集合 V 為向量空間.

齊次線性方程組的解集 S1 = { x | Ax = 0 }是向量空間

定義:齊次線性方程組的解集稱(chēng)為齊次線性方程組的解空間

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向量空間的基和維數(shù)

基:向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組

維數(shù):向量組的秩

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三、線性空間

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四、 線性空間的基與維數(shù)

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五、線性子空間

定義:如果線性空間 V 的非空子集合 V1 對(duì)于 V 中所定義的

加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算是封閉的,則稱(chēng) V1 是 V 的子空間.

平凡子空間:零空間,V本身

例:

  • 1.n 維向量的全體Rn (1) 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R }
  • 2. 集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解:V1 是 Rn 的子空間, V2 不是 Rn
    的子空間

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六、子空間的交與和

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好啦,這就是今天要分享給大家的全部?jī)?nèi)容了

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本文摘自 :https://blog.51cto.com/u

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